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Cadre théorique des calculs |
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Le problème à N corps est résolu dans le cadre
d'une approximation de champ moyen incluant les corrélations
d'appariement, l'approximation Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB).
Les équations HFB sont auto-cohérentes et résolues
par une méthode itérative. Elles sont déduites
d'un principe de minimisation de l'énergie totale du système : |
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δ ( < Φ |
H -λZZ
- λNN
-μ2 Q20
| Φ >) =0 |
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• |Φ> est la fonction d'onde HFB. |
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• λN et
λZ sont les paramètres
de Lagrange pour imposer le nombre de neutrons
N et de protons Z |
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• μ2
est le paramètre de Lagrange pour imposer le moment quadripolaire
q20 défini par |
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q20 =
< Φ|Q20 |Φ > |
avec l'opérateur |
Q20=
(16 π / 5)½
r2 Y20 |
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• H est le Hamiltonien nucléaire qui s'écrit |
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où Vij est l'interaction effective
nucléon-nucléon de
Gogny
et Ti le terme d'énergie cinétique. |
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Les équations HFB sont résolues dans une base d'oscillateurs
harmoniques à symétrie axiale. La dimension de la base est
définie par le nombre N0
de couches majeures utilisées pour le développement de la fonction d'onde HFB.
Ce nombre dépend du nombre de nucléons contenus dans le noyau.
Il est tel que le nombre d'états de la base est égal à environ 8 fois
le nombre maximum d'états occupés. |
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Ces états dépendent de la déformation imposée
au noyau et sont définis par les nombres quantiques
de l'oscillateur harmonique déformé
( n⊥,
m
et nz )
qui obéissent à l'inéquation |
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(2n⊥+m+1) hω⊥
+(nz+½)
hωz ≤
(N0+2) hω0 |
avec |
(hω0)3=
(hω⊥)2
hωz |
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où
ω⊥ et
ωz sont les deux
paramètres de l'oscillateur axial. |
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Ces paramètres doivent en principe être déterminés
par le critère de l'énergie minimum. Cette procédure
a été appliquée pour déterminer à chaque déformation
la valeur optimale du paramètre ω0 .
En revanche, le rapport q=ω⊥/
ωZ n'est pas
optimisé mais estimé à l'aide de la relation : |
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q=exp [1.5 β cos(γ) / (2 β +1)]
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avec
γ=0
si β>0 et
γ=π
si β≤0
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basée sur la déformation β du
noyau considéré comme une goutte liquide. Dans cette
approche, les symétries conservées sont la
symétrie axiale et la parité. |
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Le traitement des noyaux impairs et impairs-impairs fait l'objet d'une approximation
supplémentaire appelée procédure du blocking en conservant
la symétrie par renversement du sens du temps. Cette procédure
consiste à fixer (bloquer) le nucléon célibataire dans une orbite
déterminée durant la procédure de minimisation de l'énergie.
Plusieurs calculs sont donc nécessaires pour déterminer la quasi-particule bloquée
donnant l'énergie la plus basse. Dans le cas de noyaux impairs, 11 configurations ont
été testées pour chaque déformation. Quant aux noyaux impairs-impairs, 25
configurations ont été envisagées. |
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Données techniques des calculs |
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Les surfaces d'énergie potentielle montrent l'énergie HFB
du noyau, c'est à dire |
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compte tenu des contraintes. Elles sont tracées en fonction
du paramètre de déformation β : |
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β=(5 π / 9)½ q20
/ (A R02) |
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où A=N+Z est la masse du noyau,
R0=1.2 A1/3
son rayon (en fermi) et q20
est le moment quadripolaire
de masse défini par |
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q20 =
< Φ|Q20 |Φ > |
avec l'opérateur |
Q20=
(16 π / 5)½
r2 Y20 |
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Lorsque l'on ne visualise que les surfaces d'énergie potentielle,
on observe des lignes tracées en pointillés. Ces lignes
représentent la correction engendrée par la rotation aux spins
I = 8, 16 et 24 .
Elles sont obtenues en ajoutant à l'énergie de liaison,
l'énergie de rotation |
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fournie par le simple modèle rotationnel, dans
laquelle le moment d'inertie ℑx
est calculé pour chaque déformation
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β
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≥ 0.15. |
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Les énergies de liaison théoriques (minimum
de l'énergie potentielle le plus proche de β=0) et expérimentales
sont indiquées dans ces figures. Ces données expérimentales sont issues de
la table d'Audi et Wapstra
[4]. |
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Les potentiels chimiques sont les paramètres de Lagrange
λZ et
λN pour les protons et les
neutrons. |
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Les masses collectives quadripolaires
M20
et les moments d'inertie
ℑx
ont été calculés à l'approximation de Inglis-Beliaev
[5].
Le calcul des énergies de point zéro (ZPE) est aussi décrit
dans ce même article. |
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Les énergies d'appariement proton et neutron (p/n) sont, quant à elles,
définies par |
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EP(p/n) =
½ Tr ( Δ(p/n)
κ(p/n) ) |
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où Δ(p/n)
est le champ d'appariement et κ(p/n)
le tenseur d'appariement obtenus par résolution des équations
HFB. |
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Les paramètres β2(p/n) et
β4(p/n) sont proportionnels aux moments
multipolaires q20
et q40
définis sur les distributions de protons et de neutrons. Plus précisement, |
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β4(p/n) =
q40(p/n)
/(A R04)
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avec |
q40(p/n)=
< Φ(p/n)
| r4 Y40 |
Φ(p/n) >
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Pour finir, les rayons protons et neutrons sont donnés par les
racines carrées des rayons carrés moyens
<r2>
(p/n) définis par |
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< r2 >(p/n)=
< Φ(p/n)
| r2 |
Φ(p/n) > |
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