} RESULTATS DES CALCULS HARTREE-FOCK-BOGOLIUBOV UTILISANT LA FORCE DE GOGNY
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RESULTATS DES CALCULS HARTREE-FOCK-BOGOLIUBOV
AVEC LA FORCE DE GOGNY

S.Hilaire, M.Girod
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  Cette page d'accueil introduit la base de données "AMEDEE" [1] montrant les résultats de calculs Hartree-Fock-Bogoliubov avec l'interaction nucléon-nucléon effective D1S [2] de Gogny [3]. Pour plus d'informations sur le cadre théorique des calculs présentés cliquez ici . Pour des informations plus techniques sur la nature des résultats exposés cliquez . Les propriétés spectroscopiques des niveaux collectifs de basse énergie pour près de 1700 noyaux pairs-pairs sont disponibles ici .  
  Pour toute information complémentaire ou remarque contactez le webmaster de la base de données.  
 
 
     
     
  Cadre théorique des calculs  
     
 
  Le problème à N corps est résolu dans le cadre d'une approximation de champ moyen incluant les corrélations d'appariement, l'approximation Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB). Les équations HFB sont auto-cohérentes et résolues par une méthode itérative. Elles sont déduites d'un principe de minimisation de l'énergie totale du système :  
 
     
 
δ ( < Φ | H -λZZ - λNN -μ2 Q20 | Φ >) =0
 
     
 
  Dans cette expression  
 
 
  |Φ> est la fonction d'onde HFB.  
 
 
  λN et λZ sont les paramètres de Lagrange pour imposer le nombre de neutrons N et de protons Z  
 
 
  μ2 est le paramètre de Lagrange pour imposer le moment quadripolaire q20 défini par  
 
     
 
q20 = < Φ|Q20 |Φ >
avec l'opérateur
Q20= (16 π / 5)½ r2 Y20
 
     
 
  H est le Hamiltonien nucléaire qui s'écrit  
 
     
 
H = ∑i Ti + ½i≠j Vij
 
     
 
  Vij est l'interaction effective nucléon-nucléon de Gogny et Ti le terme d'énergie cinétique.  
 
     
 
  Les équations HFB sont résolues dans une base d'oscillateurs harmoniques à symétrie axiale. La dimension de la base est définie par le nombre N0 de couches majeures utilisées pour le développement de la fonction d'onde HFB. Ce nombre dépend du nombre de nucléons contenus dans le noyau. Il est tel que le nombre d'états de la base est égal à environ 8 fois le nombre maximum d'états occupés.  
 
     
 
  Ces états dépendent de la déformation imposée au noyau et sont définis par les nombres quantiques de l'oscillateur harmonique déformé ( n,  m et nz ) qui obéissent à l'inéquation  
 
     
 
(2n+m+1) hω +(nz+½) hωz ≤ (N0+2) hω0
avec
(hω0)3= (hω)2z
 
     
 
  ω et ωz sont les deux paramètres de l'oscillateur axial.  
 
     
 
  Ces paramètres doivent en principe être déterminés par le critère de l'énergie minimum. Cette procédure a été appliquée pour déterminer à chaque déformation la valeur optimale du paramètre ω0 . En revanche, le rapport q=ω/ ωZ n'est pas optimisé mais estimé à l'aide de la relation :  
 
     
 
q=exp [1.5 β cos(γ) / (2 β +1)]
avec γ=0 si β>0 et γ=π si β≤0
 
     
 
  basée sur la déformation β du noyau considéré comme une goutte liquide. Dans cette approche, les symétries conservées sont la symétrie axiale et la parité.  
 
     
 
  Le traitement des noyaux impairs et impairs-impairs fait l'objet d'une approximation supplémentaire appelée procédure du blocking en conservant la symétrie par renversement du sens du temps. Cette procédure consiste à fixer (bloquer) le nucléon célibataire dans une orbite déterminée durant la procédure de minimisation de l'énergie. Plusieurs calculs sont donc nécessaires pour déterminer la quasi-particule bloquée donnant l'énergie la plus basse. Dans le cas de noyaux impairs, 11 configurations ont été testées pour chaque déformation. Quant aux noyaux impairs-impairs, 25 configurations ont été envisagées.  
 
     
     
  Données techniques des calculs  
     
 
  Les surfaces d'énergie potentielle montrent l'énergie HFB du noyau, c'est à dire  
 
     
 
E= < Φ | H | Φ >
 
     
 
  compte tenu des contraintes. Elles sont tracées en fonction du paramètre de déformation β :  
 
     
 
β=(5 π / 9)½ q20 / (A R02)
 
     
 
  A=N+Z est la masse du noyau, R0=1.2 A1/3 son rayon (en fermi) et q20 est le moment quadripolaire de masse défini par  
 
     
 
q20 = < Φ|Q20 |Φ >
avec l'opérateur
Q20= (16 π / 5)½ r2 Y20
 
     
 
  Lorsque l'on ne visualise que les surfaces d'énergie potentielle, on observe des lignes tracées en pointillés. Ces lignes représentent la correction engendrée par la rotation aux spins I  =  8, 16 et 24 . Elles sont obtenues en ajoutant à l'énergie de liaison, l'énergie de rotation  
 
     
 
Erot = [ I(I+1) ]  / 2ℑx
 
     
 
  fournie par le simple modèle rotationnel, dans laquelle le moment d'inertie x est calculé pour chaque déformation | β | ≥ 0.15.  
 
     
 
  Les énergies de liaison théoriques (minimum de l'énergie potentielle le plus proche de β=0) et expérimentales sont indiquées dans ces figures. Ces données expérimentales sont issues de la table d'Audi et Wapstra [4].  
 
     
     
 
  Les potentiels chimiques sont les paramètres de Lagrange λZ et λN pour les protons et les neutrons.  
 
     
 
  Les masses collectives quadripolaires M20 et les moments d'inertie x ont été calculés à l'approximation de Inglis-Beliaev [5]. Le calcul des énergies de point zéro (ZPE) est aussi décrit dans ce même article.  
 
     
 
  Les énergies d'appariement proton et neutron (p/n) sont, quant à elles, définies par  
 
     
 
EP(p/n) = ½ Tr ( Δ(p/n) κ(p/n) )
 
     
 
  Δ(p/n) est le champ d'appariement et κ(p/n) le tenseur d'appariement obtenus par résolution des équations HFB.  
 
     
 
  Les paramètres β2(p/n) et β4(p/n) sont proportionnels aux moments multipolaires q20 et q40 définis sur les distributions de protons et de neutrons. Plus précisement,  
 
     
 
β4(p/n) = q40(p/n) /(A R04)
avec
q40(p/n)= < Φ(p/n) | r4 Y40 | Φ(p/n) >
 
     
 
  Pour finir, les rayons protons et neutrons sont donnés par les racines carrées des rayons carrés moyens <r2> (p/n) définis par  
 
     
  ` !
< r2 >(p/n)= < Φ(p/n) | r2 | Φ(p/n) >
 
     
 

Selection d'un noyau

Nombre de protons
Nombre de neutrons